Teniendo en cuenta las funciones y= cos x e y= sen 2x en [0;π/2]

Para hallar el área que encierran las gráfica de estas dos curvas, lo primero que debemos hacer es graficar las mismas, ya que allí notaremos si es que existen puntos de intersección. Como vemos en el dibujo, las curvas tienen dos puntos de intersección, uno de los cuales es el extremo superior del intervalo en el que trabajamos, o sea π/2 . El otro punto, esta donde cos x=sen 2x, esto es cuando x= π/6 , como se verá a continuación:

cos x=sen 2x entonces cos x = 2 sen x.cos x (Por identidad trigonométrica-Seno del ángulo duplo-). Resolviendo esta identidad para hallar el valor que toma el ángulo x, en este caso, obtenemos el valor x= π/6.

Una vez hallado este valor, se debe integrar en [0; π/2], restando a la función mayor la menor, o sea a la función de la gráfica que esta por encima restar la función de la gráfica que esta por debajo en este intervalo. De la misma manera se procede con el intervalo siguiente [π/6, π/2]. Luego se aplican las propiedades de las integrales, se integra y se obtiene el resultado 0,5.

Sus Gráficas son:

Ø SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

En las siguientes páginas vas a encontrar la definición de sólido de revolución,  en qué

consiste calcular su área y volumen teniendo en cuenta el cálculo infinitesimal y, por

tanto, la aplicación de integrales definidas en estos casos.

También encontrarás ejercicios resueltos que van a orientarte en el proceso, pero no

olvides que estas páginas son las que te recomiendo…Son las más favorables ya que

explican muy bien para que logres entender. Pero no olvides que vos podes ingresar a

otras que consideres necesarias para ampliar tu conocimiento!!!

Los recursos que te recomiendo son:

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesintegral/html/node6.htm

http://html.rincondelvago.com/calculo-de-volumenes-por-integracion.html

¡Ahora que sabes resuelve los siguientes ejercicios!

1. La gráfica en [1; 2] que representa la función y=x² gira en torno al eje y. Calcula el área de la superficie rotante.

2. La curva y²=4-x² en [-1; 1] es un arco de círculo x²+y²=4. Calcula el área de la superficie generada al rotar ese arco alrededor del eje x.

IntegWebQuest: ¡¡A realizar más cálculos!!

Introducción

Este tema se presenta con el fin que el estudiante adquiera habilidad para utilizar el internet como un medio rápido y efectivo para el cálculo de áreas bajo una o dos funciones en el plano, áreas y volúmenes de sólidos de revolución mediante integrales definidas, aplicando desde el punto de vista algebraico y geométrico el concepto de integral para resolver los problemas de cálculo.

Para realizar la actividad se deberán formar grupos de tres integrantes, en el cual cada uno deberá cumplir uno de los siguientes roles:

* Coordinador: debe dirigir en forma coordinada y responsabilizarse de que todo se desarrolle con corrección.

* Investigador: será el responsable de buscar la información para realizar la tarea.

* Secretario: deberá llevar el registro de todas las actividades que irán desarrollando.

¡Una vez esto a trabajar!

Tareas

1. Graficar y encontrar el área bajo la curva de f(x) = x² entre x=0 y x=3.

2. Graficar y encontrar el área bajo las curvas: f(x) = x² y f(x) = x+3 entre x=0 y x = 2.

3. Graficar y encontrar el área bajo la curva: f(x) = sen x para x = 0 y x= π.

4. Graficar y hallar el área de la superficie engendrada al girar alrededor del eje x, el lazo de la curva y²=x (3-x)².

5. Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la parte de la tangente y=tgx comprendida en [0; π/4] alrededor del eje x.

6. Hallar el área de la superficie del toro engendrada por la rotación del círculo

x²+(y-b)²=a² alrededor del eje x, con b‹a.

7. Realizar un breve comentario del proceso que se realizó para obtener el resultado de cada ejercicio contrastando, de ser posible, con los conceptos geométricos con los que puedan relacionarse.

Proceso

Para realizar la tarea el estudiante deberá seguir los siguientes pasos:

1. Formar los grupos de trabajo.

2. Determinar la función de cada integrante.

3. El coordinador organizará la tarea teniendo en cuenta los contenidos que deberán desarrollar, decidir cómo van a trabajar primordialmente en función a los recursos brindados por la docente y de cuáles otros dispondrán.

4. El investigador buscará la información en base a lo establecido por el coordinador.

5. Una vez obtenida la información se deberá comenzar con la tarea donde el secretario deberá apuntar el análisis de cada ejercicio teniendo en cuenta lo siguiente:

* Graficar “siempre” la función.

* La relación entre la integral definida y el límite de la sumatoria de áreas en un intervalo dividido en subintervalos.

* Propiedades de la integral definida

* EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.

* Métodos de aproximación de cálculo de integrales.

6. Una vez finalizadas todas las actividades se deberá volcar todo el contenido en diapositivas para luego exponerlas a sus compañeros, con el gráfico de cada actividad realizado en afiches de modo que pueda visualizarse sus características.

7. Para la exposición el grupo deberá explicar el proceso de cada actividad y comentar las conclusiones a las que ha arribado luego de la tarea, teniendo en cuenta todos los contenidos, recursos utilizados, y todo lo que haya ocupado para la realización del trabajo.

Recursos

Para resolver la tarea deberán visitar los siguientes sitios:

http://notascalculointegral.blogspot.com/

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Ejdefinida.htm

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm

http://html.rincondelvago.com/integrales_la-integral-definida.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:C%C3%A1lculo_integral

http://docentes.uacj.mx/flopez/Cursos_bak/Calculo2/Unidades/Unidad4/45%20Volumen%20%20de%20solidos%20de%20revolucion.htm

http://www.mitecnologico.com/Main/CalculoVolumenesMetodoDiscos

http://html.rincondelvago.com/calculo-integral.html

http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070316125729AAfwE1W

http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/calculo/integral.htm

Además de éstos podrán visitar otros que el grupo considere.

Evaluación

Para evaluar el trabajo de cada grupo tendré en cuenta las siguientes categorías:

CATEGORIA	Excelente	Suficiente	Alcanzó	Insuficiente
Cantidad de Trabajo	La cantidad de trabajo es dividida equitativamente y compartida por todos los miembros del grupo.	La cantidad de trabajo es dividida y compartida equitativamente entre dos miembros del equipo, y el otro colaboró parcialmente.	Una persona en el grupo no hizo su parte del trabajo.	Varias personas en el grupo no hicieron su parte del trabajo.
Calidad  de Trabajo	El trabajo es presentado de la manera solicitada, y cumpliendo cada parte del proceso. Además no presenta errores de ortogrfía.	El trabajo cumple con la mayor parte de lo solicitado, y presenta menos de 5 errores de ortogrfía.	Sólo el 50% fue presentado correctamente, y cunta con más de 5 errores de ortografía.	No cumple con lo solicitado en el proceso y las tareas no fueron desarrolladas correctamente.
Originalidad	El producto demuestra gran originalidad. Las ideas son creativas e ingeniosas.	El producto demuestra cierta originalidad. El trabajo demuestra el uso de nuevas ideas y de perspicacia.	Usa ideas de otras personas (dándoles crédito), pero no hay casi evidencia de ideas originales.	Usa ideas de otras personas, pero no les da crédito.

Conclusión

Con esta webquest el grupo ha aprendido a volcar los contenidos desarrollados durante el período del segundo trimestre, entre ellos por ejemplo: cálculo infinitesimal, su relación con el límite, fórmulas de integración y métodos que facilitan dichos cálculos.

También han aprendido la importancia del trabajo grupal, la interrelación que requiere el mismo para la realización de un trabajo bueno y significativo, que únicamente puede lograrse cuando los integrantes trabajan cooperativamente.